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定义：
设A，B都是n阶矩阵，如存在矩阵P使P^(-1)AP=B，就称矩阵A相似与矩阵B，记成A~B。
与几何的相似不同，矩阵相似是比等价还要强的条件。
相似的性质（必要条件）：
1.特征值相等。这个结论是由特征多项式相等推出来的。
2.A和B的秩相等。
3.A和B的行列式相等。
4.A和B的迹相等。迹就是n阶矩阵主对角线上的元素之和。
这是大部分老师会让我们记住的4条矩阵相似的必要条件，但是在判断矩阵相似时，题目往往上面4个条件都是相等的，所以我们就不能用上面4个必要条件去否定了，然后我们也不知道矩阵相似的充分条件是什么，题目就不好做。下面给出相似的必要条件5，并把第一个必要条件做一些加强，这样就可以解决大部分考研题目了。
1.特征值相等，且每个特征值对应的特征向量个数相等。
5.A-kE和B-kE也是相似的。
1的证明：
若A~B，对于某个特征值λ，若B有一个线性无关的特征向量α，则Bα=λα成立，于是 (P^-1)APα=λα，即APα=λPα也成立。所以说人话就是B有一个特征向量阿尔法，则A对于同样的特征值，也有一个线性无关的向量Pα。虽然我们不知道P，但是我们可以断定A和B的每个特征值的特征向量个数是相同的。
2的证明：
若A~B，则B-kE = (P^-1)AP - k(P^-1)P = (P^-1)/(A-kE)P。即A-kE~B-kE。
下面来做几道题。
例题：和矩阵 [公式] 相似的矩阵（）
我们可以看到，选项的行列式，秩，迹都是相同的，这就是考研难度的题目。
我们可以用强化后的必要条件2，但是更好的是我们不去求矩阵的特征值。让我们用性质5来做这道题。
我们把这5个矩阵都减去2E，然后发现题干的矩阵秩是1，而选项里只要C-2E的秩是1，其他的都是2。
所以得出这题选C。